数量关系——不定方程的几种解法

　　不定方程指的是：未知项的个数大于方程的个数的一类方程或方程组。其中的部分未知项受到某种限制条。在公务员考试行测试卷中的数量关系常常出现的一类题型就是：不定方程问题。

　　中国是研究不定方程最早的国家。著名的百鸡问题就是不定方程问题。

　　条件估算法：

　　1. 已知甲、乙两人共有图书260本，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少本非专业书( )。

　　A. 75 B. 87 C. 174 D. 67

　　京佳解析：B。根据条件“甲有专业书13%”，可知甲有非专业书87%，所以甲非专业书的数量是87的倍数，只能选择87或174。若甲的非专业书是87本，则甲的专业书是13本;乙的专业书是(260-87-13)×12.5%=20本。若甲的非专业书是174本，则甲的专业书是26本;乙的专业书是(260-174-26)×12.5%=60×12.5%=7.5，非整数，舍弃。所以甲的非专业书为87本。故选B。

　　代入排除法：

　　2. 小明买红、蓝两支笔，共用了17元。两种笔的单价都是整数。并且红笔比蓝笔贵。小强打算用35元来买这两种笔。但是无论怎么买，都不能把35元恰好用完。那么红笔的单价是多少元?( )

　　A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

　　京佳解析：C。不定方程问题首先设未知数，列方程。红笔价钱比蓝笔贵，所以红笔可以取9—16中任何一个。设红笔买了x支，蓝笔买了y支。代入A选项：11x+6y=35，有整数解;代入B选项：12x+5y=35，有整数解;代入C选项：13x+4y=35，没有整数解。故选C。

　　同余法：

　　3. 将一根长度为374米长的钢管截成若干根36米和24米长的不同型号的材料。其中的损耗忽略不计，问，剩余部分的钢管最少是多少米?( )

　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

　　京佳解析：B。不定方程问题先设未知项，列方程。设长度为36米和24米的管子分别有x和y，有截掉的长度为36x+24y=374。根据题目条件，这个方程不可能有整数解，我们要求一组数(x，y)使得36x+24y的和最接近374。分析如下：36x+24y这个数能被12整除，所以截掉的长度应能被12整除，而374被12除的余数是2，所以至少要剩下2米，下面来考虑这个可能性，374÷12=31余2。令3x+2y=31，这个方程有整数解。所以36x+24y最接近的值为372，故剩余部分最小为2米。故选B。

　　还有一类不定方程，类似于数量关系中的统筹问题。这类问题也是根据题目条件不足以求出未知项的方程或方程组，然后给出一个目标函数，求这个目标函数的最大值。这类问题通常利用不等式估算法，来缩小未知项的范围，然后再分别求解。