招教考试中学数学学科专业知识第十一章：积分

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招教考试中学数学学科专业知识（第十一章第三节）

　　第三节  积分

　　一、不定积分 ★★★★★

　　(一)不定积分的基本概念

　　已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有

　　dF′(x)=f(x)dx，

　　则在该区间内，称函数F(x)为函数f(x)的原函数.

　　函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx.

　　如果函数F(x)为函数f(x)的一个原函数，那么f(x)的不定积分∫f(x)dx就是函数族 F(x)+C. 即∫f(x)dx=F(x)+C.

　　(二)不定积分的性质

　　1.函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和

　　即：∫［f（x）+g（x）］dx=∫f（x）dx+∫g（x）dx.

　　2.求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来

　　即：∫kf（x）dx=k∫f（x）dx.

　　(三)常见积分公式

　　（1）∫kdx=kx+C（2）∫xadx=1a+1xa+1+C

　　（3）∫1xdx=lnx+C（4）∫axdx=axlna+C

　　（5）∫exdx=ex+C（6）∫sinxdx=-cosx+C

　　（7）∫cosxdx=sinx+C（8）∫sec2xdx=∫1cos2xdx=tanx+C

　　（9）∫csc2xdx=∫1sin2xdx=-cot x+C

　　（10）∫11-x2dx=arcsin x+C

　　（11）∫11+x2dx=arctanx+C

　　(四)求不定积分的方法

　　1.换元法

　　(1)设f(u)具有原函数F(u)，u=g(x)可导，那么F［g(x)］是f［g(x)］g′(x)的原函数.

　　即有换元公式:∫f［g(x)］g′(x)dx=F［g(x)］+C.

　　例1求∫2cos2xdx.

　　解：设u=2x，那么cos2x=cosu，du=2dx，因此：

　　∫2cos2xdx=∫cosudu=sinu+C=sin2x+C.

　　（2）设x=g(t)是单调、可导的函数，并且g′(t)≠0，又设f［g(t)］g′(t)具有原函数φ(t)，

　　则φ［g(x)］是f(x)的原函数［其中g(x)是x=g(t)的反函数］.

　　即有换元公式:∫f(x)dx=φ［g(x)］+C.

　　例2求∫a2-x2dx(a>0).

　　解：设x=asint-π2<t<π2，那么a2-x2=a2-a2sin2t=acost，dx=acostdt,于是有：

　　∫a2-x2dx=∫acost·acostdt=a2∫cos2tdt=a2t2+sin 2t4+C=a22arcsin xa+12xa2-x2+C.