招教考试中学数学学科专业知识第十六章：空间直角坐标系

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招教考试中学数学学科专业知识（第十六章第一节）

　　第一节  空间直角坐标系

　　一、空间直角坐标系的基本概念 ★★★

　　在空间中取定一点O,过O点作三条相互垂直的数轴Ox、Oy、 Oz,各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系.称点O为坐标原点,称数轴Ox、 Oy、 Oz为坐标轴,称由两坐标轴确定的平面为坐标平面，简称xy、yz、xz 平面.

　　三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴逆时针旋转90°角而指向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向.

　　二、向量的分量 ★★

　　有序数组(x,y,z)称为点M的坐标，x称为横坐标, y称为纵坐标,z称为竖坐标. 记为M(x,y,z).

　　以i、j、k分别表示沿轴正向的单位向量.

　　r=OM=OP+PN+NM=OP+OQ+OR,设OP=xi,OQ=yj,OR=zk.则r=xi+yj+zk，此式

　　称为向量r的坐标分解式.r在三个坐标轴上的分向量为xi、yj、zk.r=(x，y，z).

　　三、利用坐标作向量的各种运算 ★★★

　　1.向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式

　　a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),

　　a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k;

　　a－b=(ax－bx,ay－by,az－bz)=(ax－bx)i+(ay－by)j+(az－bz)k;

　　λa=(λax,λay,λaz)=(λax)i+(λay)j+(λaz)k.

　　2.内积坐标表达式

　　设a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,

　　a·b=axbx+ayby+azbz.

　　两向量夹角余弦的坐标表示式：

　　a·b=|a||b|cos θ?cos θ=a·b|a||b|=ax bx +ay by +az bz a2x +a2y +a2z b2x +b2y +b2z .

　　由此可知两向量垂直的充要条件：

　　a⊥b?axbx+ayby+azbz=0.

　　3.向量积的坐标表达式

　　设a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk，

　　a×b=(aybz－azby,azbx－axbz,axby－aybx).

　　向量积还可用三阶行列式表示

　　a×b=ijk

　　axayaz

　　bxbybz=(aybz－azby,azbx－axbz,axby－aybx).

　　由上式可推出两向量平行的充要条件：

　　a∥b?axbx=ayby=azbz.

　　若三点Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,3)共线?x2－x1x3－x1=y2－y1y3－y1=z2－z1z3－z1?x1y1z1

　　x2y2z2

　　x3y3z3=0.

　　（因为共线?P1P2=P1P3，则由前定理可得）.

　　4.向量的混合积

　　设a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,c=cxi+cyj+czk,

　　(a,b,c)=(a×b)·c=axayaz

　　bxbybz

　　cxcycz.

　　三向量共面的充要条件：

　　axayaz

　　bxbybz

　　cxcycz=0