招教考试中学数学学科专业知识第八章：平面向量

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招教考试中学数学学科专业知识（第八章第一节）

　　第一节  平面向量

　　一、平面向量的概念 ★★★

　　1.既有大小又有方向的量称为向量.

　　2.向量的表示方法: 几何表示法、字母表示法.

　　3.相等向量:方向相同且长度相等的有向线段表示同一向量或相等向量.

　　4.如果AB=a,那么AB的长度,叫做a的模,记作|a|或|AB|.

　　5.长度为零的向量,叫做零向量,记作0，其向量的方向不确定.

　　6.与非零向量a同方向且长度等于1的向量,叫做a的单位向量,若a的单位向量为a0,则a0与a的关系是a0=a|a|.

　　7.通过有向线段AB的直线,叫做向量AB的基线.

　　8.如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量平行或共线.

　　二、平面向量的线性运算 ★★★★

　　1.向量的加法运算

　　（1）已知向量a、b,在平面上任取一点A,作AB=a,BC=b,再作向量AC,则向量AC叫做a与b的和(或和向量) ,记作a+b.

　　（2）向量加法满足：① 交换律:a+b=b+a.② 结合律:（a+b）+c=a+(b+c).

　　(3)向量加法可以使用平行四边形法则、三角形法则.

　　① AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则（首尾相连，连接首尾，指向终点）.

　　② 已知两个从同一点O出发的向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则.

　　2.向量的减法运算

　　（1）相反向量:与a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量,记作-a.

　　（2）把两个向量的起点放在一起,则两向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.若共同起点是坐标原点,则差可简记为: 终点向量减起点向量.如图所示.

　　3.向量的数乘运算

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa, λa的长|λa|= |λ||a|.

　　λa(a≠0)的方向：

　　当λ＞0，与a同方向；

　　当λ＜0时,与a反方向;

　　当λ=0或a=0时,0a=0或λ0=0(如下图).

　　说明：

　　λa中的实数λ,叫做向量a的系数.向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.

　　实数与向量的积的运算律:

　　设λ、μ∈R,a、b是向量,则

　　① (λ+μ)a= λa+μa；

　　② λ(μa)=(λμ)a；

　　③ λ(a+b)=λa+λb.

　　注意：（1)两个向量的和仍是向量.

　　(2)实数与向量不能进行加减法运算,如λ±a无法运算.

　　?真题点睛

　　1.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，他们的夹角为90o，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若CO=xOA+yOB，其中x,y∈R，则x+y的最大值是（）.

　　A. 1B. 2

　　C. 3D. 2

　　【答案】 B

　　【老师点评】 以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立直角坐标系.

　　则A(1,0),B(0,1)，C(x,y),C点在圆x2+y2=1上。所以,(x+y)2=x2+y2+2xy≤1+2·x2+y22=2.因此，x+y的最大值是2.

　　2.如图,若ABCD是一个等腰梯形,AB∥DC,M,N分别是DC、AB的中点,已知AB=a,AD=b,DC=c,试用a、b、c表示BC、MN、DN+CN.

　　【老师点评】 BC=BA+AD+DC=-a+b+c.

　　∵MN=MD+DA+AN,MN=MC+CB+BN,

　　∴2MN=MD+MC+DA+CB+AN+BN=-AD+CB=-b-(-a+b+c)=a-2b-c,

　　∴MN=12a-b-12c.

　　DN+CN=DM+MN+CM+MN=2MN=a-2b-c.