招教考试中学数学学科专业知识第八章：空间向量

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招教考试中学数学学科专业知识（第八章第二节）

　　第二节  空间向量

　　一、空间向量坐标系 ★★★

　　1.空间向量的坐标

　　（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，这个基底叫做单位正交基底，用{i,j,k}表示；

　　（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们称为坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系O-xyz，点O叫原点，向量i、j、k为坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；

　　（3）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA=x i+y j+z k，有序实数组(x,y,z)叫做向量A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.

　　2.空间向量

　　定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.

　　注：(1)空间的一个平移就是一个向量；

　　(2)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量;

　　(3)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.

　　3.空间向量的夹角及其表示

　　已知两非零向量a，b,空间任取一点O，作OA=a,OB=b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a,b〉；且规定0≤〈a,b〉≤π，显然有〈a,b〉=〈b,a〉；若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作：a⊥b.

　　4.向量的模

　　设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.

　　二、空间向量运算 ★★★

　　1.运算法则

　　(1)空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下:

　　OB=OA+AB=a+b

　　BA=OA-OB=a-b

　　OP=λa(λ∈R)

　　(2)运算律：

　　（1）加法交换律：a+b=b+a

　　(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

　　(3)数乘分配律：λ(a+b)=λa+λb

　　2.向量的数量积

　　a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉.

　　已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A′，作点B在l上的射影B′，则A′B′叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.

　　可以证明A′B′的长度|A′B′|=|AB|cos〈a,e〉=|a·e|.

　　3.空间向量数量积的性质

　　（1）a·e=|a|cos〈a,e〉.

　　（2）a⊥b?a·b=0.

　　（3）|a|2=a·a.