招教考试中学数学学科专业知识第九章：复数的概念

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招教考试中学数学学科专业知识（第九章第一节）

　　第一节  复数的概念

　　一、复数的基本概念及其几何意义 ★★★

　　1.复数的概念

　　形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位，且满足i2＝-1.

　　复数z＝a＋bi（a，b∈R）实数（b＝0）

　　虚数（b≠0）纯虚数（a＝0）

　　非纯虚数（a≠0）

　　2.复数相等的充要条件

　　a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）.

　　特别地a＋bi＝0?a＝b＝0（a，b∈R）.

　　3.i的幂

　　i(4n)＝1，i(4n+1)＝i，i(4n+2)＝－1，i(4n+3)＝－i（n∈Z）.

　　4.复数的模

　　设z＝a＋bi，则复数的模：｜z｜＝r＝ a2+b2.

　　5.复数z的几何意义

　　复数z=a+bi与复平面上的点z(a,b)是一一对应的.

　　二、复数的向量表示、复平面 ★★★★

　　1.复数的向量表示

　　在复平面内，设向量OZ表示复数z=a+bi，则向量OZ的模就是复数z=a+bi的模r；以x轴正半轴为始边，向量OZ所在的射线（起点为O）为终边的角θ叫做复数z=a+bi的辐角.

　　（1）不等于零的复数z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍.

　　（2）如果z=0，则OZ是零向量.零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.

　　（3）适合于0≤θ≤2π的辐角θ的值叫做辐角的主值，通常记作arg z，即0≤arg z≤2π.复数0的辐角主值可取［0,2π)内任意一个值.

　　（4）根据定义，有cosθ=ar，sinθ=br，即a=rcosθ，b=rsinθ，所以a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ).

　　2.复平面

　　建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

　　作映射：C→R2：z=x+yi→(x,y)，则在复数集与平面R2之间建立了一一对应关系.

　　复数可以等同于平面中的向量，z=x+yi.向量的长度称为复数的模，定义为：|z|=x2+y2；

　　向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：arg z=arctanyx+2kπ(k∈Z).