招教考试中学数学学科专业知识第九章：复数的运算

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招教考试中学数学学科专业知识（第九章第二节）

　　第二节  复数的运算

　　一、复数的加减法运算及几何意义 ★★

　　1.复数的加法

　　(1)法则：设z1=a+bi,z2=c+di，z1、z2为任意两个复数，那么z1+z2=(a+bi)+(c+di)=

　　(a+c)+(b+d)i,显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数.

　　（2）运算律：?z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

　　（3）几何意义：设OZ1、OZ2分别与复数a+bi、c+di对应，则有OZ1=(a,b)、OZ2=(c,d)，由平面向量的坐标运算，有OZ1+OZ2=(a+c,b+d),即OZ1+OZ2是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量，故复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义.

　　2.复数的减法

　　(1)法则：（a+bi）-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,显然，两个复数的差仍是一个确定的复数.

　　(2)减法的几何意义：复数的减法满足向量的三角法则，如右图所示，OZ1-OZ2=(a-c,b-d),即向量OZ1-OZ2与复数(a-c)+(b-d)i对应.

　　二、复数的乘法和除法 ★★

　　1.复数的乘法按多项式相乘进行，即

　　（a＋bi）（c＋di）＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.

　　2.复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化.

　　三、相关知识点 ★★★

　　关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：

　　（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|;

　　（2）|z1+z2|≥|z1|-|z2|;

　　（3）|z1-z2|≤|z1|+|z2|；

　　（4）|z1-z2|≥|z1|-|z2|；

　　（5）|Rez|≤|z|,|Imz|≤|z|；

　　（6）|z|2=zz；

　　（7）棣莫佛定理：［r(cosθ+isinθ)］n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈Z)；

　　（8）若非零复数z=r(cosα+isinα)，则z的n次方根有n个，即：

　　zk=nrcos2kπ+αn+isin2kπ+αn(k=0,1,2,…,n-1).

　　四、共轭复数 ★★★★

　　1.定义

　　当两个复数的两个实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数（实数的共轭复数是它本身）.如a+bi与a-bi互为共轭复数.复数z的共轭复数常记为z.

　　2.几何意义

　　若z1与z2是共轭复数，那么在复平面内z1与z2对应的点关于实轴对称.

　　3.运算

　　z1=a+bi与z2=a-bi是共轭复数，z1·z2=(a+bi)·(a-bi)=a2+b2,显然，z1·z2=|z1|2=|z2|2.

　　重要结论：

　　（1）对复数z、z1、z2和自然数m、n，有

　　zm·zn=zm+n，(zm)n=zmn，(z1·z2)n=zn1·zn2.

　　(2)i1=i，i2=-1，i3=-i，i4=1；

　　i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1.

　　(3)(1±i)2=±2i，1-i1+i=-i，1+i1-i=i.

　　(4)设ω=-1+3i2，则ω2=ω，2=ω，1+ω+ω2=0，ω3n=ω3n，ωn+ωn+1+ωn+2=0.