招教考试中学数学学科专业知识第十章：极限

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招教考试中学数学学科专业知识（第十章第一节）

　　第一节  极限

　　一、数列的极限 ★★★

　　1.数列极限的定义

　　设an是一个无穷数列，A是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数n＞N，就有|an-A|＜ε，那么就说数列an以A为极限（或A是数列an的极限），记作limn→∞an=A.

　　2.数列极限的运算法则

　　如果limn→∞an=A，limn→∞bn=B，那么

　　(1)limn→∞(an±bn)=limn→∞an±limn→∞bn=A±B；

　　(2)limn→∞(an·bn)=limn→∞an·limn→∞bn=A×B;

　　（3）limn→∞anbn=limn→∞anlimn→∞bn=AB(B≠0);

　　（4）limn→∞（c·an）=c·limn→∞an=cA（c为常数）.

　　极限运算法则中的各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限.

　　3.特殊数列的极限

　　（1）limn→∞C=C（C为常数）.

　　（2）limn→∞an=0（|a|＜1），1(a=1)，不存在（|a|＞1或a=-1）.

　　(3)limn→∞1na=0(a＞0的常数).

　　(4)limn→∞a0xk+a1xk-1+…+akb0xl+b1xl-1+…+bl=a0b0(当k=l时)，

　　0(当k＜l时)，

　　不存在(当k＞l时).

　　说明：欲求极限的式子中含有项数与n有关的“和式”或“积式”，应先求和或积.

　　4.常见的数列极限的类型和求法

　　（1）“00”型，分子、分母分别求和,再转化.

　　（2）“∞∞”型，分子、分母先求和，再化简，转化求极限.

　　（3）“∞-∞”型，将其看作分母为1的分式，转化求极限.