招教考试中学数学学科专业知识第十五章：圆锥曲线

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招教考试中学数学学科专业知识（第十五章第二节）

　　第二节  圆锥曲线

　　一、椭圆 ★★★

　　1.椭圆的标准方程及其性质

　　条件P={M|MF1|+|MF2|=2a，2a＞|F1F2|}

　　标准方程

　　顶点

　　x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)x2b2+y2a2=1(a＞b＞0)

　　A1(-a,0),A2(a,0)

　　B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)

　　B1(-b,0),B2(b,0)

　　轴对称轴：x轴，y轴.长轴长|A1A2|=2a，短轴长|B1B2|=2b

　　焦点F1（-c,0）,F2(c,0)F1（0,-c）,F2(0,c)

　　焦距|F1F2|=2c(c＞0)，a2=b2+c2

　　离心率e=ca(0<e<1)

　　椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的参数方程为x=acos θ，

　　y=bsin θ.

　　2.椭圆的相关性质

　　（1）椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦半径公式

　　PF1=ex+a2c，PF2=ea2c－x.

　　（2）椭圆的切线方程

　　①椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.

　　②过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是x0xa2+y0yb2=1.

　　③椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=c2.

　　例1已知以F1（-2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x+3y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）.

　　A. 32B. 26

　　C. 27D. 42

　　【答案】 C

　　【解析】 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n＞0)，联立方程组：

　　mx2+ny2=1，

　　x+3y+4=0.消去x得：(3m+n)y2+83my+16m-1＝0，

　　Δ＝192m2－4(16m－1)（3m＋n)＝0，整理，得：3m+n=16mn,即：

　　3n+1m=16，又c＝2，由焦点在x轴上，所以，1m-1n＝4，联立解得：m=17

　　n=13，故长轴长为27.故选C.