招教考试中学数学学科专业知识第二章：不等式及其基本性质

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招教考试中学数学学科专业知识（第二章第一节）

　　第一节  不等式及其基本性质

　　一、不等式的概念 ★

　　用不等号“＞”“＜”“≥”“≤”或“≠”连接两个代数式表示不等关系的式子叫不等式.不等式分为严格不等式和非严格不等式.

　　二、不等式的基本性质 ★

　　1.如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；（对称性）

　　2.如果x＞y，y＞z；那么x＞z；（传递性）

　　3.如果x＞y，而z为任意实数或整式，那么x＋z＞y＋z；（加法法则）

　　4.如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（乘法法则）

　　5.如果x＞y，z＞0,那么x÷z＞y÷z;如果x＞y，z＜0,那么x÷z＜y÷z；

　　6.如果x＞y，m＞n，那么x+m＞y+n；(充分不必要条件)

　　7.a>b,ab>0?1a<1b；（倒数法则）

　　8.a>b,ab>0?an>bn(n∈N*且n>1)；（乘方法则）

　　9.a>b>0?na>nb(n∈N*且n>1)；（开方法则）

　　10.含有值不等式的性质：

　　（1）|a|+|b|≥|a+b|；

　　（2）|a|-|b|≤|a+b|；

　　（3）|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.

　　　三、不等式的证明 ★★★

　　（一）比较法

　　比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).

　　1.差值比较法

　　差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若a-b≥0，则a≥b；若a-b≤0，则a≤b”.其一般步骤为：

　　（1）作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；

　　（2）变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；

　　（3）判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后所求证不等式成立的结论.

　　应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.

　　2.商值比较法

　　商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，ab≥1，则a≥b；ab≤1，则a≤b”.其一般步骤为：

　　（1）作商：将左右两端作商；

　　（2）变形：化简商式到最简形式；

　　（3）判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.

　　应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法.

　　(二)综合法

　　从已知条件或已经证明的不等式出发，根据不等式的性质、基本不等式或函数单调性直接证出待证不等式.

　　(三)分析法

　　从待证的不等式出发分析使这个不等式成立的充分条件，直至使不等式成立的条件都已具备，就可确定待证不等式成立，这种思想通常简单地称为“执果索因”.

　　(四)缩放法

　　缩放法是要证明不等式A<B成立，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法.其基本原理是不等式的传递性，关键要掌握放缩的“度”.