招教考试中学数学学科专业知识第六章：二项式定理

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招教考试中学数学学科专业知识（第六章第二节）

　　第二节  二项式定理

　　一、二项式定理 ★

　　二项式定理：(a+b)n=C0nan+C1nan-1b1+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N*).

　　（1）右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式.

　　（2）各项的系数Crn叫做二项式系数.

　　（3）式中的Crnan-rbr叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第r+1项.

　　即Tr+1=Crnan-rbr(r=0,1,2,…,n).

　　（4）二项展开式的特点：

　　① 共n+1项；

　　② 按字母a的降幂排列，次数从n到0递减；

　　③ 二项式系数Crn中r从0到n递增，与b的次数相同；

　　④ 每项的次数和都是n.

　　二、二项式系数的性质 ★

　　性质1(a+b)n的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即Cmn=Cn-mn.

　　性质2二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即Cmn+Cm-1n=Cmn+1.

　　性质3(a+b)n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n，即C0n+C1n+…+Cnn=2n.

　　性质4(a+b)m的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C0n+C2n+…+C2rn+…=C1n+C3n+…+C2r+1n+…=2n-1.

　　性质5(a+b)n的二项展开式中，当n为偶数时，中间一项的二项式系数Cn2n取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，都为Cn-12n且同时取得最大值 （即中间项的二项式系数最大）.

　　三、二项式定理的常见题型及解法 ★★★

　　1.求二项展开式

　　（1）“(a+b)n”型的展开式

　　例1求3x+1x4的展开式.

　　解：原式=3x+1x4=(3x+1)4x2

　　=1x2C04(3x)4+C14(3x)3+C24(3x)2+C34(3x)+C44

　　=1x2(81x4+108x3+54x2+12x+1)

　　=81x2+108x+12x+1x2+54.

　　（2）“(a-b)n”型的展开式

　　例2求3x-1x4的展开式.

　　分析：解决此题，只需要把3x-1x4改写成3x+-1x4的形式然后按照二项展开式的格式展开即可.

　　解：原式=3x+-1x4=3x-1x4=（3x-1）4x2

　　=1x2C04（3x）4-C14(3x)3+C24(3x)2-C34(3x)+C44

　　=81x2-108x+12x-1x2+54.