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招教考试中学数学学科专业知识第十一章：微分

2015-08-07 07:39:20     来源：京佳教育

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招教考试中学数学学科专业知识（第十一章第二节）

　　第二节  微分

　　一、微分的定义 ★★

　　设函数在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这区间内，若函数的增量可表示为Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是不依赖于Δx的常数，o(Δx)是Δx的高阶无穷小，则称函数y=f(x)在点x0处可微.AΔx叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即：dy=AΔx.

　　微分dy是自变量改变量Δx的线性函数，dy与Δy的差o（Δx）是关于Δx的高阶无穷小量，我们把dy称作Δy的线性主部.可得出：当Δx→0时，(Δy)≈dy.导数的记号为：dydx=f′(x).

　　由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上可微，反之亦成立.

　　二、微分的运算法则

　　(一)运算法则

　　函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则

　　(u±v)′=u′±v′d(u±v)=du±dv

　　(Cu)′=Cu′d(Cu)=Cdu

　　(uv)′=u′v+uv′d(uv)=vdu+udv

　　uv′=u′v-uv′v2duv=vdu-udvv2

　　(二)基本初等函数的微分公式

　　导数公式微分公式

　　(C)′=0d(C)=0

　　（x）′=1d(x)=dx

　　(xn)′=nxn-1d(xn)=nxn-1dx

　　(sinx)′=cosxd(sinx)=cosxdx

　　(ex)′=exd(ex)=exdx

　　(lnx)′=1xd(lnx)=dxx

　　?真题点睛

　　设f(x)=sinxx，求f(x)对x3的导数.

　　【老师点评】 根据微分形式的不变性，有：

　　df(x)dx3=dsinxxdx3=xcosx-sinxx2dx3x2dx=xcosx-sinx3x4.

文章关键词： 中学数学 学科专业知识

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