招教考试中学数学学科专业知识第十一章：导数

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招教考试中学数学学科专业知识（第十一章第一节）

　　第一节  导数

　　一、导数的概念 ★★★

　　(一)导数

　　设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx(x+Δx也在该邻域内)时，相应地函数有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，若Δy与Δx之比在Δx→0时存在极限，则称这个极限值为y=f(x)在x0处的导数.记为：y′|x=x0还可记为：dydx|x=x0，f′(x0).

　　函数f(x)在点x0处存在导数简称函数f(x)在点x0处可导，否则不可导.若函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数f(x)在区间(a,b)内可导.这时函数y=f(x)对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数y=f(x)的导函数.

　　(二)左、右导数

　　若极限limΔx→0-ΔyΔx存在，则称函数f(x)在x0左可导，此极限称为函数f(x)在x0的左导数，记为f′-(x0).若极限limΔx→0+ΔyΔx存在，则称函数f(x)在x0右可导，此极限称为f(x)在x0的右导数，记作f′+(x0).

　　注：函数y=f(x)在x0处左右导数存在且相等是函数y=f(x)在x0处可导的充分必要条件.

　　二、常用求导公式 ★★★

　　（1）（c）′=0（c为常数）（2）（xa ）′=axa-1（3）（ax）′=axlna

　　（4）（ex）′=ex（5）（logax）′=1xlna（6）（lnx）′=1x

　　（7）（sinx）′=cosx（8）（cosx）′=-sinx

　　（9）（tanx）′=1cos2x=sec2x

　　（10）（cotx）′=-1sin2x=-csc2x

　　(11)(secx)′=secx·tanx(12)(cscx)′=-cscx·cotx

　　(13)(arcsinx)′=11-x2(14)(arccosx)′=-11-x2

　　(15)(arctanx)′=11+x2(16)（arccotx）′=-11+x2

　　三、导数的运算 ★★★★★

　　(一)函数的和差求导法则

　　两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为：（u±v）′=u′±v′.其中u、v为可导函数.

　　例1已知y=1x+x5+7，求y′.

　　解：y′=(1x)′+(x5)′+(7)′=-x-2+5x4+0=-1x2+5x4.

　　?真题点睛

　　已知y=sinx-logax+ex，求y′.

　　【老师点评】 y′=(sinx)′-(logax)′+(ex)′=cosx-1xlna+ex.

　　(二)函数的积商求导法则

　　1.常数与函数的积的求导法则

　　在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去.用公式可写成：(cu)′=cu′.

　　例2已知y=3sinx+4x2，求y′.

　　解：y′=(3sinx)′+(4x2)′=3(sinx)′+4(x2)′=3cosx+4×2x=3cosx+8x.

　　2.函数的积的求导法则

　　两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数.用公式可写成：(uv)′=u′v+uv′.

　　例3已知f(x)=xsinx，求f(x)′.

　　解：f(x)′=(x)′sinx+x(sinx)′=12xsinx+xcosx.

　　3.函数的商的求导法则

　　两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，再除以分母的平方.用公式可写成：(uv)′=u′v-uv′v2.

　　例4已知f(x)=tanx，求f′(x).

　　解：f(x)′=(tanx)′=(sinxcosx)′=(sinx)′cosx-sinx(cosx)′cos2x=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x=sec2x.

　　(三)复合函数的求导法则

　　两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：dydx=dydu·dudx，其中u为中间变量.

　　例5已知y=sin2x，求dydx.

　　解：设u=sinx,则y=sin2x可分解为y=u2,u=sinx因此dydx=dydu·dudx=2ucosx=2sinxcosx=sin2x.