招教考试中学数学第四章：函数的概念和基本性质

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招教考试中学数学学科专业知识（第四章第一节）

　　第一节  函数的概念和基本性质

　　一、函数的概念 ★

　　设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的函数，记作y=f（x），x∈A.

　　其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数y=f（x）的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数y=f(x)的值域.

　　二、函数的表示方法 ★

　　1.函数的三要素： ① 对应法则f；② 定义域A；③ 值域{f（x）|x∈A}.只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数.

　　(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应f∶A→B.

　　这里A,B为非空的数集.

　　（2）A：定义域，原象的集合，{x|x∈A}；f（x）：值域，象的集合,{f(x)|x∈A}；

　　f：对应法则，x∈A ，y∈B.

　　（3）函数符号：y=f(x)?y是x的函数，简记f(x).

　　2.常见函数的表示方法:

　　(1)一次函数f(x)=ax+b(a≠0):定义域R, 值域R;

　　(2)反比例函数f(x)=kx(k≠0):定义域{x|x≠0}, 值域{f(x)|x≠0};

　　(3)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):定义域为R，值域：当a>0时，y|y≥4ac-b24a；当a<0时，y|y≤4ac-b24a.

　　说明：在求函数的定义域时，一般情况下应该考虑：

　　（1）偶次方根的被开方数不小于零；

　　（2）分母不等于零；

　　（3）零的零次幂没有意义.

　　　三、函数的基本性质 ★★★

　　1．奇偶性

　　（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.

　　如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数.

　　注意：

　　① 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

　　② 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，其-x也是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.

　　（2）利用定义判断函数奇偶性的步骤：

　　① 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

　　② 确定f(－x)与f(x)的关系；

　　③ 作出相应结论：

　　若f(－x)= f(x) 或 f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；

　　若f(－x)=－f(x) 或 f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数.

　　（3）简单性质：

　　① 图象的对称性：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

　　② 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

　　奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.