招教考试中学数学学科专业知识第十三章：多边形

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招教考试中学数学学科专业知识（第十三章第二节）

　　第二节  多边形

　　一、三角形 ★★★★★

　　1．定义

　　由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形.

　　2.三角形的边角关系

　　（1）三角形的内角和等于180°.

　　（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.

　　（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

　　（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

　　（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.

　　（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线、中线、高、中位线.

　　① 等腰三角形中，顶角平分线、中线、高三线互相重叠；

　　② 三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三边的一半.

　　（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.

　　（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.

　　（9）三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.

　　（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心.

　　（11）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角.

　　① 三角形的内心、重心都在三角形的内部.

　　② 钝角三角形垂心、外心在三角形外部.

　　③ 直角三角形垂心、外心在三角形的边上.（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点）

　　④ 锐角三角形垂心、外心在三角形内部.

　　3.特殊三角形

　　（1）直角三角形

　　定义：有一个角为90°的三角形叫做直角三角形.直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC.

　　性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理).

　　性质2:在直角三角形中，两个锐角互余.

　　性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R＝C2）.

　　性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.

　　判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形.

　　判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形.

　　判定3：若a2＋b2=c2，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）.

　　（2）等腰三角形

　　定义：有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰.

　　性质： 两底角相等； 两条腰相等； 顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；

　　判定： 等角对等边； 两底角相等。

　　（3）等边三角形

　　定义：等边三角形（又称正三角形）为三边相等的三角形.其三个内角相等，均为60°.它是锐角三角形的一种.

　　性质： 顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合； 等边三角形的各角都相等，并且都等于60°.

　　判定： 三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

　　4.相似三角形

　　（1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形.

　　（2）相似三角形的性质

　　相似三角形对应边成比例，对应角相等；

　　相似三角形对应边的比叫做相似比；

　　相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；

　　相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比；

　　若a、b、b、c成比例，即a∶b=b∶c，则称b是a和c的比例中项.

　　（3）相似三角形的判定

　　三边对应成比例，则这两个三角形相似；

　　两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似；

　　两角对应相等，则两三角形相似.