招教考试中学数学第十四章：点、线、面及其位置关系

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招教考试中学数学学科专业知识（第十四章第一节）

　　第一节  点、线、面及其位置关系

　　一、点、线、面 ★★★

　　1.空间图形是由点、线、面组成的

　　空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.

　　点、线、面的基本位置关系如下表所示：

　　图形符号语言文字语言（读法）

　　A∈a点A在直线a上

　　A?a点A不在直线a上

　　A∈α点A在平面α内

　　A?α点A不在平面α内

　　a∩b=A直线a、b交于A点

　　a?α直线a在平面α内

　　a∩α=?直线a与平面α无公共点

　　a∩α=A直线a与平面α交于点A

　　α∩β=l平面α、β相交于直线l

　　集合中“∈”的符号只能用于点与直线、点与平面的关系，“?”和“∩”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言.

　　2.平面的基本性质及其应用

　　公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.

　　公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.

　　公理2的推论：

　　①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；

　　②经过两条相交直线，有且只有一个平面；

　　③经过两条平行直线，有且只有一个平面.

　　公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.

　　（1）公理1可用来证明点在平面内或直线在平面内；

　　（2）公理2可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面；

　　（3）公理3可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点.

　　3.点共线、线共点、点线共面

　　（1）点共线问题

　　证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.

　　（2）线共点问题

　　证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再根据第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上.

　　（3）证明点线共面的常用方法

　　①纳入平面法：先确定一个平面，再根据有关点、线在此平面内；

　　②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合.

　　例1将下列文字语言转化为符号语言：

　　（1）点A在平面α内，但不在平面β内；

　　（2）直线a经过平面α外一点M；

　　（3）直线l在平面α内，又在平面β内.（即平面α和β相交于直线l.）

　　解：（1）A∈α，A?β；

　　（2）M∈a，M?α；

　　（3）l?α，l?β（即α∩β＝l）.