招教考试中学数学学科专业知识第十二章：线性方程组

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招教考试中学数学学科专业知识（第十二章第三节）

　　第三节 线性方程组

　　一、一般线性方程组 ★★★

　　关于未知变量x1,x2,…,xn的n元一次方程组

　　a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

　　am1x1+am2x2+…+amnxn=bm（*）

　　称为n元线性方程组，其中x1,x2,…xn表示n个未知量，m是方程组中方程的个数，aij为系数，bj为常数项.

　　若b1=b2=…bm=0上述方程组称为齐次线性方程组，若b1,b2,…,bm不全为零，则称为非齐次线性方程组.

　　利用矩阵的记号，上述方程组可以写成  AX=b，其中

　　A=a11…a1x

　　am1…amnX=x1

　　x2

　　xnβ=b1

　　b2

　　bn

　　于是线性方程组可改为 AX= β.记：

　　=(A,β)=a11a12…a1nb1

　　a21a22…a2nb2

　　an1an2…amnbm

　　称为（*）方程组的增广矩阵.

　　定理1如果线性方程组AX=β有两个不同的解，那么它有无穷多解.

　　定义设A1X=β1、A2X=β2是两个由m个方程组成的n元线性方程组，如果A1X=β1的解都是A2X=β2的解,A2X=β2的解都是A1X=β1的解，即线性方程组A1X=β1，A3X=β2有相同的解，那么称它们为同解方程组，或称这两个方程组同解.

　　定理2如果线性方程组A1X=β1的增广矩阵A=（A1β1）经过有限次行初等变换变成矩阵2，2作为增广矩阵对应于线性方程组A2X=β2那么，线性方程组A1X=β1、A2X=β2是同解方程组.

　　对于齐次线性方程组

　　a11x1+a12x2+…+a1nxn=0,

　　a21x2+a22x2+…+a2xxn=0,

　　…

　　am1x1+am2x2+…+amnxn=0.（1）

　　由于x1=x2=…=xn=0总是它的一个解（通常称为零解），所以齐次线性方程组的解总是存在的.问题是它会不会有非零解，从而有无穷多解.

　　推论1如果齐次线性方程组（1）的系数矩阵A的阶梯形中非零行的数目r小于未知数的数目n，那么它有非零解.

　　推论2如果齐次线性方程组（1）的方程数目m小于未知数的数目n，那么它有非零解.

　　推论3如果齐次线性方程组（1）的未知数的数目n不超过方程的数目m，那么，当且仅当 r=n 时，它只有非零解.