招教考试中学数学第二章：二元一次不等式与简单线性规划

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招教考试中学数学学科专业知识（第二章第三节）

　　第三节  二元一次不等式（组）与简单线性规划问题

　　一、二元一次不等式（组）与平面区域 ★★

　　（一）基本概念

　　1.二元一次不等式

　　含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.

　　2.二元一次不等式组

　　由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.

　　3.二元一次不等式（组）的解集

　　满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.

　　注意：有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.

　　（二）二元一次不等式的表示区域

　　二元一次不等式Ax+By+C>0（<0）在直角坐标系中表示Ax+By+C=0某侧所有点组成的平面区域.直线叫做这两个区域的边界.

　　若是“＞”号，则区域不包括边界，直线画为虚线.若是“≥”号，则区域包括边界，直线画为实线.

　　判断二元一次不等式表示平面区域的方法：

　　直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域，C≠0时，常把原点作为特殊点.

　　例1画出下列不等式表示的区域

　　(1)(x-y)(x-y-1)≤0；(2)x≤|y|≤2x.

　　解：(1)原不等式可化为x-y≥0，

　　x-y-1≤0，?0≤x-y≤1或x-y≤0

　　x-y≥1矛盾无解，

　　故点(x,y)在一带形区域内（含边界），如图1所示.

　　(2)由x≤2x，得x≥0；当y>0时，有x-y≤0，

　　2x-y≥0，点(x,y)在一三角形区域内(含边界)；

　　当y≤0，由对称性得出.如图2所示.

　　例2画出不等式组x-y+5≥0，

　　x+y≥0，

　　x≤3，表示的平面区域.

　　解：不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合，x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为右图所示的三角形区域.